La controversia surgida por la variación CONTINUA del tiempo, da lugar a plantearse una preciosa variante del problema propuesto por Ángel. Veámosla.
Si las ciudades A y B se encontrasen en dos vértices opuestos de un cuadrado, cuyos lados midiesen 100 km y ambos trenes saliesen a su encuentro CON LA MISMA VELOCIDAD.
El tren A siguiendo SIEMPRE un trayecto a través de la diagonal AB del cuadrado y el tren B siguiendo SIEMPRE un trayecto a través de dos lados contiguos que unan A con B. Pudiendo repetir sus recorridos las veces que fuese necesario para encontrarse, tanto en ida como en vuelta.
¿Cuándo se encontrarían ambos trenes, y en qué ciudad lo harían, en A o en B?
¡Ah!, no lo busquéis en San Google, se me acaba de ocurrir.
.
Si las ciudades A y B se encontrasen en dos vértices opuestos de un cuadrado, cuyos lados midiesen 100 km y ambos trenes saliesen a su encuentro CON LA MISMA VELOCIDAD.
El tren A siguiendo SIEMPRE un trayecto a través de la diagonal AB del cuadrado y el tren B siguiendo SIEMPRE un trayecto a través de dos lados contiguos que unan A con B. Pudiendo repetir sus recorridos las veces que fuese necesario para encontrarse, tanto en ida como en vuelta.
¿Cuándo se encontrarían ambos trenes, y en qué ciudad lo harían, en A o en B?
¡Ah!, no lo busquéis en San Google, se me acaba de ocurrir.
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Dime si voy bien encaminado.
Lo primero sería hallar la distancia entre la ciudad A y la b.
para ello hallamos la medida de la diagonal del cuadrado de 100 km. de lado.
100 x100 = 10000 + 10000 = 20000; raiz cuadrada de 20000 = 141.4213562373095049.
ahora hemos de suponer una velocidad, ya que en el enunciado no hay ninguna, lógicamente, este problema tendrá tantas soluciones como velocidades se indiquen. Yo he elegido una velocidad de 100 km. h.
Dividimos la distancia entre ciudades por los km. h. para saber cuanto tiempo empleará en el recorrido de ida.
141,4213562373095049/100 = 1,414213562373095049. para simplificar las infinitas operaciones con tantos decimales, reducimos a minutos y después a segundos.
1,414213562373095049 x 60 = 84,85281374238570294; 84,85281374238570294 x 60 = 5092 segundos.
Ahora vamos al otro tren, que hace el trayecto desde A. Ha de recorrer dos lados contiguos, por lo tanto serán 200 km. Si la velocidad es de 100 k. h., lo habrá hecho en 2 h. También lo reducimos a segundos, 2 x 60 = 120; 120 x 60 = 720.
Ahora hemos de buscar el punto de encuentro en alguna de las ciudades.
Empezamos a multiplicar 5092 segundos por todos los numeros pares, x 2, x 4, x 6, etc etc. Hacemos lo mismo con el tren que sale de A, su tiempo era de 720 segundos, 720 x 3, x 5, 7, 9etc etc,.
En este recorrido de cifras, hemos de encontrar dos cifras semejantes, y las encontramos cuando llegamos a multiplicar 5091 segundos x 200 = 1.018.400, coincidiendo en su trallecto 200 en la ciudad a.
Elotro tren, en su trayecto 142, 7200 x 142 = 1.015.200 segundos, se encuentran en la estación A, con una diferencia de tiempo de 3.200 segundos.
Es la aproximación mas cercana que he podido, hallar, es posible que si sigo multiplicando tren A por pares y tren B por nones, llegue un momento en que se encuentren en un tiempo exacto.
Saludos
Lo primero sería hallar la distancia entre la ciudad A y la b.
para ello hallamos la medida de la diagonal del cuadrado de 100 km. de lado.
100 x100 = 10000 + 10000 = 20000; raiz cuadrada de 20000 = 141.4213562373095049.
ahora hemos de suponer una velocidad, ya que en el enunciado no hay ninguna, lógicamente, este problema tendrá tantas soluciones como velocidades se indiquen. Yo he elegido una velocidad de 100 km. h.
Dividimos la distancia entre ciudades por los km. h. para saber cuanto tiempo empleará en el recorrido de ida.
141,4213562373095049/100 = 1,414213562373095049. para simplificar las infinitas operaciones con tantos decimales, reducimos a minutos y después a segundos.
1,414213562373095049 x 60 = 84,85281374238570294; 84,85281374238570294 x 60 = 5092 segundos.
Ahora vamos al otro tren, que hace el trayecto desde A. Ha de recorrer dos lados contiguos, por lo tanto serán 200 km. Si la velocidad es de 100 k. h., lo habrá hecho en 2 h. También lo reducimos a segundos, 2 x 60 = 120; 120 x 60 = 720.
Ahora hemos de buscar el punto de encuentro en alguna de las ciudades.
Empezamos a multiplicar 5092 segundos por todos los numeros pares, x 2, x 4, x 6, etc etc. Hacemos lo mismo con el tren que sale de A, su tiempo era de 720 segundos, 720 x 3, x 5, 7, 9etc etc,.
En este recorrido de cifras, hemos de encontrar dos cifras semejantes, y las encontramos cuando llegamos a multiplicar 5091 segundos x 200 = 1.018.400, coincidiendo en su trallecto 200 en la ciudad a.
Elotro tren, en su trayecto 142, 7200 x 142 = 1.015.200 segundos, se encuentran en la estación A, con una diferencia de tiempo de 3.200 segundos.
Es la aproximación mas cercana que he podido, hallar, es posible que si sigo multiplicando tren A por pares y tren B por nones, llegue un momento en que se encuentren en un tiempo exacto.
Saludos
.
¡Genial!, eres un pura sangre. Otro cualquiera habría desistido.
Tú tienes un empeño, que ya lo hubiera querido yo para mí.
Hay que tener genes para atacar el vaivén de cifras que tú has meneado.
Ocurre en este problema como en el de los dos triángulos: las medidas, los cálculos, no son el camino hacia su solución.
Es necesario hacer reflexiones, más que sobre los números que manejes en sí, sobre lo que ellos significan.
Aquí no importa si la velocidad de los trenes es 100, 1, o un millón de kms. Lo que importa es lo que significan esas cantidades, Qué son unas y qué son otras.
Has observado que el tren B visita cada ciudad cuando recorre 200 km.
También has observado que el tren A visita cada ciudad cuando recorre 141'4213562... km = 100xRaízCuad (2)
Es decir, el tren B visita las ciudades en múltiplos de 200 y el tren A las visita en múltiplos de 100xRaízCuad (2)
Por tanto, para que ambos trenes coincidan en alguna de sus visitas, debes responder a estas preguntas:
¿Es posible que un múltiplo ENTERO de 200 coincida con un múltiplo ENTERO de 100xRaízCuad (2)?. Digo ENTERO, porque si no fuese ENTERO entonces los trenes estarían en algún punto interior de su trayecto y no podrían coincidir (Uno va por la diagonal y el otro por los lados).
Y si esa coincidencia se produjese, ¿estarían los dos trenes en la misma ciudad?
Y para ello vienen a cuento mis comentarios sobre la variación continua del tiempo y sobre los decimales. Aquí los decimales han de tenerse en cuenta hasta el infinito, de lo contrario, sólo tendrás aproximaciones de las cantidades que se manejen, y las aproximaciones tienen una propiedad, ¡que son exactas!, cosa que no ocurre con todas las cantidades teóricas.
Por ejemplo, el número pi no puede ser alcanzado con múltiplos ENTEROS de 1, porque requeriría 3'1415926... de estos múltiplos.
Tampoco con múltiplos ENTEROS de 0'5, porque requeriría 6'283185307... múltiplos.
Ni tampoco con múltiplos ENTEROS de 0'1 porque requeriría 31'415926535... de estos múltiplos
Y así sucesivamente.
El caso es que siempre estaría comprendido entre dos de estos múltiplos, pero nunca sería igual a uno de ellos.
Por ejemplo, el número pi está comprendido entre el tercer y cuarto múltiplo del 1.
Entre el sexto y séptimo múltiplos de 0'5.
Entre el 31 y el 32 múltiplos de 0'1,
¡Pero nunca coincide con uno de ellos!, porque ellos son EXACTOS (son aproximaciones) y el número pi NO es una aproximación, y si lo es, solo se debería a que previamente HA SIDO MUTILADO, recortado y privado de sus infinitos decimales.
Te lo dejo ahí, el resto es cuestión de reflexión y observación.
Saludos
PD. Considero importante hacer esta aclaración:
La dificultad de este problema no está en que 100xRaízCuad (2) sea decimal. Ni en que las variaciones del tiempo también lo sean. De hecho hay decimales, como por ejemplo 0'5, que son iguales a múltiplos ENTEROS de otros decimales: 0'5 = 5x (0'1).
Tampoco está la cuestión en que la variación sea axacta o que tenga infinitas cifras decimales, por ejemplo 5x200 = 9000x (0'1111111111111.....)
Realmente reside en un aspecto muy peliagudo sobre lo que es el número RaízCuad (2). En casi todos los libros de primer curso de la ESO viene explicado.
Y por último, ¿qué pasaría si Antonio fuese en el tren A al encuentro de su novia Beatriz que viene a encontrarse con él en el tren B?
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¡Genial!, eres un pura sangre. Otro cualquiera habría desistido.
Tú tienes un empeño, que ya lo hubiera querido yo para mí.
Hay que tener genes para atacar el vaivén de cifras que tú has meneado.
Ocurre en este problema como en el de los dos triángulos: las medidas, los cálculos, no son el camino hacia su solución.
Es necesario hacer reflexiones, más que sobre los números que manejes en sí, sobre lo que ellos significan.
Aquí no importa si la velocidad de los trenes es 100, 1, o un millón de kms. Lo que importa es lo que significan esas cantidades, Qué son unas y qué son otras.
Has observado que el tren B visita cada ciudad cuando recorre 200 km.
También has observado que el tren A visita cada ciudad cuando recorre 141'4213562... km = 100xRaízCuad (2)
Es decir, el tren B visita las ciudades en múltiplos de 200 y el tren A las visita en múltiplos de 100xRaízCuad (2)
Por tanto, para que ambos trenes coincidan en alguna de sus visitas, debes responder a estas preguntas:
¿Es posible que un múltiplo ENTERO de 200 coincida con un múltiplo ENTERO de 100xRaízCuad (2)?. Digo ENTERO, porque si no fuese ENTERO entonces los trenes estarían en algún punto interior de su trayecto y no podrían coincidir (Uno va por la diagonal y el otro por los lados).
Y si esa coincidencia se produjese, ¿estarían los dos trenes en la misma ciudad?
Y para ello vienen a cuento mis comentarios sobre la variación continua del tiempo y sobre los decimales. Aquí los decimales han de tenerse en cuenta hasta el infinito, de lo contrario, sólo tendrás aproximaciones de las cantidades que se manejen, y las aproximaciones tienen una propiedad, ¡que son exactas!, cosa que no ocurre con todas las cantidades teóricas.
Por ejemplo, el número pi no puede ser alcanzado con múltiplos ENTEROS de 1, porque requeriría 3'1415926... de estos múltiplos.
Tampoco con múltiplos ENTEROS de 0'5, porque requeriría 6'283185307... múltiplos.
Ni tampoco con múltiplos ENTEROS de 0'1 porque requeriría 31'415926535... de estos múltiplos
Y así sucesivamente.
El caso es que siempre estaría comprendido entre dos de estos múltiplos, pero nunca sería igual a uno de ellos.
Por ejemplo, el número pi está comprendido entre el tercer y cuarto múltiplo del 1.
Entre el sexto y séptimo múltiplos de 0'5.
Entre el 31 y el 32 múltiplos de 0'1,
¡Pero nunca coincide con uno de ellos!, porque ellos son EXACTOS (son aproximaciones) y el número pi NO es una aproximación, y si lo es, solo se debería a que previamente HA SIDO MUTILADO, recortado y privado de sus infinitos decimales.
Te lo dejo ahí, el resto es cuestión de reflexión y observación.
Saludos
PD. Considero importante hacer esta aclaración:
La dificultad de este problema no está en que 100xRaízCuad (2) sea decimal. Ni en que las variaciones del tiempo también lo sean. De hecho hay decimales, como por ejemplo 0'5, que son iguales a múltiplos ENTEROS de otros decimales: 0'5 = 5x (0'1).
Tampoco está la cuestión en que la variación sea axacta o que tenga infinitas cifras decimales, por ejemplo 5x200 = 9000x (0'1111111111111.....)
Realmente reside en un aspecto muy peliagudo sobre lo que es el número RaízCuad (2). En casi todos los libros de primer curso de la ESO viene explicado.
Y por último, ¿qué pasaría si Antonio fuese en el tren A al encuentro de su novia Beatriz que viene a encontrarse con él en el tren B?
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Buenos días, al final no me has dicho si voy bien encaminado o no, ya he comentado que es lo mas aproximado que he encontrado, pero que si sigo haciendo operaciones con los siguientes numeros pares, 5091,........ x 202, 204, 206..... y 7200 por numeros impres, 141, 144, 147 etc etc, estoy convencido que en algún momento lo conseguiría.
Respoecto a Antonio y su novia, mucho me temo que Antonio que Antonio iba a quedar harto de tren, al igual que su novia. Yo creo que sería mejor que antonio esperase en laestación, ya que elencuentro se produciría en la estacíon de donde sale el ttren A.
Saludos, seguiré aproximandome.
Respoecto a Antonio y su novia, mucho me temo que Antonio que Antonio iba a quedar harto de tren, al igual que su novia. Yo creo que sería mejor que antonio esperase en laestación, ya que elencuentro se produciría en la estacíon de donde sale el ttren A.
Saludos, seguiré aproximandome.
Bétulo,
La respuesta a lo de Antonio y su novia, me convence.
Y respecto al problema de los trenes, ya te he dicho que debes responder a estas cuestiones:
<<
¿Es posible que un múltiplo ENTERO de 200 coincida con un múltiplo ENTERO de 100xRaízCuad (2)?
Y si esa coincidencia se produjese, ¿estarían los dos trenes en la misma ciudad?
>>
Hasta ahora, se ve que lo intentas, pero no queda claro. Debes dar una contestación PRECISA Y JUSTIFICADA, de lo contrario
siempre dejarás algún cabo suelto, y lo peor, no habrás extraído la enseñanza que contiene el problema.
En tu respuesta hay un acierto (con error en los cálculos, habitual en tí), el tren que hace el trayecto por los lados tardaría 2 horas = 7200 segundos.
Pero también hay un error, el tren que recorre la diagonal tarda RaízCuad (2) horas, que TÚ valoras como 5092 segundos, y eso solo ES UNA APROXIMACIÓN, pero no su valor exacto.
Da la casualidad de que en este caso esa diferencia es crucial.
Más no debo decirte. Ya te he hecho las aclaraciones y orientaciones que necesitas en mi anterior mensaje.
Saludos
La respuesta a lo de Antonio y su novia, me convence.
Y respecto al problema de los trenes, ya te he dicho que debes responder a estas cuestiones:
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¿Es posible que un múltiplo ENTERO de 200 coincida con un múltiplo ENTERO de 100xRaízCuad (2)?
Y si esa coincidencia se produjese, ¿estarían los dos trenes en la misma ciudad?
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Hasta ahora, se ve que lo intentas, pero no queda claro. Debes dar una contestación PRECISA Y JUSTIFICADA, de lo contrario
siempre dejarás algún cabo suelto, y lo peor, no habrás extraído la enseñanza que contiene el problema.
En tu respuesta hay un acierto (con error en los cálculos, habitual en tí), el tren que hace el trayecto por los lados tardaría 2 horas = 7200 segundos.
Pero también hay un error, el tren que recorre la diagonal tarda RaízCuad (2) horas, que TÚ valoras como 5092 segundos, y eso solo ES UNA APROXIMACIÓN, pero no su valor exacto.
Da la casualidad de que en este caso esa diferencia es crucial.
Más no debo decirte. Ya te he hecho las aclaraciones y orientaciones que necesitas en mi anterior mensaje.
Saludos